utorok, 26. októbra 2010


















1. Definujte okamžitú rýchlosť hmotného bodu. Mechanickým pohybom rozumieme proces, pri ktorom dochádza k zmene polohy jedného  telesa vzhľadom na iné teleso. Časť fyziky, v rýmci ktore sa mechanický pohyv študuje sa nazýva mechanika. Hmotný bod je teleso, ktorého rozmery môžeme zanedbať v porovnaní s ostatnými rozmermi, ktoré pri sledovanom pohybe vystupujú. . Pri kinematike HB musíme poznať polohový bod. Na určenie polohy používame tzv. polohový vektor, ktorého začiatok sa nachádza v meiste vzťažného bodu a koncový bod je v mieste okamžitje polohy bodu. Sled polôh, ktoré HB v priestore zaujíma, nazývame dráhou (trajektóriou) pohybu.
Ak označíme Dr = r´ - r, Dt = t´-t, potom stredná (priemerná) rýchlosť má tvar vs= Dr/ Dt a okamžitá rýchlosť (jej vektor)
v = lim Dr/Dt=dr/dt (Dt->0). Vektor okamžitej rýchlosti je rovný prve derivácii polohového vektora podľa času. Posledný vzťah môžeme postupne rozpísať ako: v= vs. i + vs. j + vs .k=dx/dt .i + dy/dt . j + dz/dt . k=dr/dt= d/dt.(x.i +y.j +z.k) a teda pre príslušné súradnice vektora rýchlosti platí: vx =dx/dt; vy =dy/dt; vz =dz/dt. Veľkosť rýchlosti vypočítame zo vzťahu:
|v|= v2x +v2y +v2z. Strednú rýchlosť možno definovať aj na základe skutočne prejdenej dráhy, t.j. vs= Ds/ Dt. Takto zavedená stredná rýchlosť vedie k rovankej hodnote okamžitej rýchlosti: v=|v|=|dr/dt|=|dr|/dt=ds/dt;  v = lim vs = lim Ds/Dt=ds/dt (t->0). Vektor okamžitje rýchlosti má vždy smer dotyčnice trajektórií v danom bode.
2. Definujte okamžité zrýchlenie hmotného bodu. Vo všeobenosti môže byť aj vektor rýchlosti funkciou času na kvantifikovanie rýchlosti tejto zmeny zavádzame veličinu nazváanú zrýchlenie. Ak označíme Dv= v´ - v, Dt = t´-t, potom priemerné zrýchlenie má tvar as= Dv/Dt a okamžité zrýchlenie a = lim Dv/Dt=dv/dt (Dt->0), v=dr/dt, a=dv/dt=d/dt(dr/dt)=d2r/dt2. Pre vektor zrýchlenia postupne dostávame a=dv/dt=d2r/dt2=ax.i + ay .j+ az.k= dvx /dt .i + d vy /dt .jv + dvz /dt .k=
=d2x/dt2 .i + d2y/dt2 .j + d2z/dt2.k; |a|= a2x +a2y +a2z.
3. Vyjadrite časovú závislosť rýchlosti HB, ktorý sa pohybuje priamočiarym pohybom s konštantným spomalením, ak v časovom okamihu t=0 mala jeho rýchlosť hodnotu v0. a) priamočiary pohyb HB: trajektóriou (dráhou) je priamka označená ako s: v=ds/dt, potom s=ò v dt. Zrýchlenie je derivácia podľa času: a=dv/dt= d2s/dt2, potom v=ò a dt.
1. rovnomerný priamočiary pohyb – rýchlosť je konštantná: v-konštanta, potom a=0: s=ò v dt = v ò  dt= vt+s0, kde t=0, potom s= s0. Ak t=0, poto  s=v.0+c ... t=0 a s= s0, s0= v.0+c, potom c= s0.
4. Odvoďte časovú závislosť rýchlosti a dráhy pre priamočiary pohyb, ak a=konštanta. 2. rovnomerne zrýchlený priamočiary pohyb – zrýchlenie je stále konštantné, potom zmena rýchlosti na jednotu času je stále rovnaká: a = konštanta: v=ò a dt = a ò  dt= at + v0. (t=0 potom v= v0). Ak t=0 ... v= v0 , v=at+c, potom v0 =a.0+c ... c= v0 ;  s=ò v dt = ò  (at + v0) dt= 1/2 . at2 + v0t + s0.
5. Odvoďte časovú závislosť rýchlosti pre priamočiary pohyv, ak a=k.t, kde k je konštanta. I. voľný pád – rovnomerný zrýchlený pohyb o hodnote g. a=g, v=g.t, s=1/2 g.t2, kde h je výška nad zemským povrchom, hmax=h+s, h=hmax – s= hmax –1/2 .g t2. II. zvyslý vrh nadol: a=g, v= v0+gt, s= v0t+1/2 g.t2. III. zvislý vrh nahor: a=g, v= v0 - gt, s= v0t -1/2 g.t2. 3. obecný priamočiary pohyb: a=a(t), v=ò  a(t) dt + v0 (ak t=0, potom v=v0), s= ò ò (a(t) dt + v0) dt + s0

 7. Napíšte súvis medzi obvodovou a uhlovou rýchlosťou. b) krivočiary pohyb HB: trajektóriou je priestorová krivka. Krivosť K v danom bode je definovaná ako K=1/R= lim |Dt|/Ds=|dt|/ds (Ds->0), kde R je polomer krivosti krivky v danom bode, ds je elementárna dĺžka dráhy, t je jednotkový vektor majúci smer dotyčnice ku dráhe v danom bode krivky. Čím je krivosť väčšia, tým je polomer krivosti menší.
Vektor uhla je kolmá na rovinu, v ktorej sa tento uhol vytvára. Jeho veľkosť (absolútna hodnota=dĺžka) sa rovná veľkosti tohto uhla a smeruje na tú stranu, z ktore sa vytváranie uhla javí proti pohybu hodinových ručičiek. Uhlová rýchlosť popisuje časovú zmenu uhla, ktorý vytvára polohový vektor pohybujúceho sa bodu s nejakým pevne zvoleným smerom. w = lim Dj/ Dt = dj /dt (Dt->0).
Pomocou takto zavedenej uhlovej rýchlosti môžme tiež definovať uhlové zrýchlenie: e = lim Dw/ Dt = dw /dt = d2j /dt2 (Dt->0). V prípade roninného pohybu ležia vektory v tej istej priamke kolmej na rovinu pohybu a vystačíme si so skalárnym popisom, t.j.: w= dj /dt, e= du/dt= d2j /dt2. Rozklad celkového zrýchlenia a na tangenciálnu a normálovú zložku: a=at + an , a= |a|=
= a2t + a2n ; v=|v|.v/|v|= |v|.t, | t |=1, a=dv/dt=d/dt(|v|.t)=d|v|/dt .t+ |v|.dt/dt, teda at = d|v|/dt .t  a 
an = |v|.dt/dt.
Pomotou definície polomeru krivosti môžeme upraviť vzťah pre normálové zrýchlenie: |dt|=ds/R, ds/dt=v=|v|,
an = |v|.dt/dt= v.dt/dt .n=v. ds/Rdt . n = v2/R .n
Vzťah medzi veľkosťami obvodove a uhlovej rýchlosti : v=ds/dt=r.dj/ dt=r.w , pre tangenciálne zrýchlenie platí:
at = dv/dt= r. dw/ dt=r. e  a pre normálové zrýchlenie platí: an = v2/R =r.w2
8. Pri akom pohybe HB po kružnici je frekvencia konštantná. Pohyb po kružnici – rovinný pohyv, trajektóriou je kružnica. Sprievodič alebo polohový vektor bodu vzhľadom na stred kružnice na konštantnú veľkosť, musí sa určiť jeho smer v rovine. Polomer krivosti sa rovná polomeru kružnice dj= |dj|= r. dj, |dt| =1.dj, ds= r. |dt|  =1/r = |dt|/ds.
Periodu alebo dobu obiehania T berieme ako čas, ktorý by bol potrebný na jeden obeh pri danej uhlovej rýchlosti t. j.:  w.T=2p, potom T = 2p/w  a   f= 1/T= w/2p, potom w = 2p.f.
9. Pri akom pohybe bodu je jeho tangenciálne zrýchlenie nulové a normálové konštantné. w=dj/dt, j = ò w dt, e=dw/dt, w= ò e dt
Pre rovnomerný pohyb po kružnici platí: w =konštanta, potom e=0, potom  j = ò  w dt= wt + j0 (t=0, potom j = j0).
Pre rovnomerne zrchlený pohyb po kružnici platí: : e =konštanta, potom w = ò e dt= et + w0 (t=0, potom w = w0). Potom :
j = ò  w dt= ò (et + w0)dt =1/2 et2 + a0t +j0.
10. Nakreslite časovú závislosť uhlovej rýchlosti HB, ktorý sa začal pohybovať z pokoja rovnomerne zrýchleným pohybom po kružnici.Vektorový popis:
                                               platí v=w x r, použitím tohto vzťahu dostávame pre zrýchlenie a=dv/dt=d(w x r)/dt =
=dw/dt x r + dr/dt x w = e x r + w x v = e x r + w x (w x r). Pre tangenciálnu a normálovú
zložku zrýchlenia: at = e x r , an = w x v = w x (w x r).




11. Sformulujte 1. Newtonov pohybový zákon, aj v matematickom tvare. Dynamika HB hľadá odpoveď na otázku čo zapríčiňuje pohyb a aký bude pohyb ak je známa príčina. Zmeny v pohybe nastávajú ako dôsledok vzájomnej interakcie.
1. Newtonov pohybový zákon (1678): Teleso je v pokoji alebo v rovnomernom priamočiarom pohybe, kým naň nepôsobí nejaká sila (platí iba v niektorých inerciálnych (zotrvačných) sústavách). Zotrvačná hmotnosť bráni zmene pohybového stavu .
12. Sformulujte a matematicky zapíšte 2. Newtonov pohybový zákon.
2. Newtonov pohybový zákon (princíp sily): Sila F je priamoúmerná  súčinu hmotnosti telesa m a zrýchlenia a, ktoré táto sila vyvoláva. F = m.a. V SI je konštanta úmernosti =1. V SI je jednotkou sily taká sila, ktorá telesu o hmotnosti 1kg udeľuje zrýchlenie 1ms–2 = 1 Newton (N):  1N = 1 kgms–2.
13. Riešením pohybovej rovnice vyjadrite x-ovú a y-ovú zložku rýchlosti HB, ktorý bol vrhnutý šikmo pod uhlom a s počiatočnou rýchlosťou v0.




14. Sformulujte a matematicky zapíšte 3. Newtonov pohybový zákon.
3. Newtonov pohybový zákon (princíp akcie a reakcie): f12 je sila, ktorou pôsobí hmotný bod 1 na hmotný bod 2 a sila f21 je sila, ktorou pôsobí hmotný bod 2 na hmotný bod 1, pričom platí:
Ak hmotný bod m1 pôsobí na bod m2 silou f12, tak HB m2 pôsobí na bod m1 silou f21 = rovnakou veľkosťou, ale opačne orientovanou. Sily akcie a reakcie ležia na spoločnej priamke. f21 = - f12 . Tento vzťah nevyjadruje úplne princíp akcie a reakcie pretože vyjadruje fakt, že sily akcie a reakcie ležia na spoločnej priamke. Túto skutočnosť môžeme vyjadriť po zavedení veličiny moment sily vzhľadom na bod: D= r f , kde r je polohový vekotr pôsobiska sily f vzhľadom na zvolený vzťahový bod.
Vektorový súčin momentov síl f12 a f21 :  D12 + D21 = r2 x  f12 x  r1 x  f21 = r1 x  f12 + r12 x  f12 +  r1 x  f21 =
= r1 x  (f12 + f21) + r12 x  f12 = r1 x  (f12 - f12) + r12 x  f12 = 0;   D12 +  D21 = r12 x  f12 = 0. zabezpečí nám, že sily akcie  a reakcie budú ležať na jednej priamke a teda  D12 = -  D21 , čo je matematické vyjadrenei skutočnosti, že sily akcie a reakcie pôsobbia v jednej priamke.
Súčasné pôsobenie viacerých síl je rovnocenné pôsobenie jednej sily tzv. výslednice síl, ktorá je = vektorovému súčtu jednotlivých síl: a = S as = S fs /m = (S fs )/m ... f= S fs = m. a
15. Definujte impulz, hybnosť a vyjadrite súvis medzi nimi. Časový účinok sily hodnotíme veličinou, ktorú nazývame impulzom sily a definujeme u vzťahom I=0òτ fdt, kde t je časový interval, v ktorom umpulz meriame. Z tejto definície vyplýva, že impulz sily je vektor a jeho jednotkou v SI je Ns = kgms–1. Hybnosťou HB nazývame veličinu definovanú vzťahom p=m.v. Nech pre 2 časové okamihy pre t=0  v= v0 a pre t=t  v= v1 pre impuly postupne dostaneme: I=0òτ fdt =0òτ m.adt = 0òτ dv/dt .dt =
=v0òv1 m.dv= m(v1- v0) = p1 - p0 = Dp, pričom p1 = m.v1p0 = m.v0 ,   I= Dp. Impulz = zmene hybnosti počas pôsobenia sily. Pomocou hybnosti môžeme vyjadriť 2NPZ vo všeobecnosti: f=dp/dt, pričom dI= fdt= dp.Ak tento vzťah rozpíšeme dostávme: f =m . dv/dt  + dm/dt . v= m. a + dm/dt . v
Moment hybnosti G definuje vzťah G= r x  p, kde r je polohový vekotr HB vzhľadom na bod voči ktorému príslušný moment určujeme.
16. Za akých podmienok platí pre prácu vzťah A=F.s. Prácou alebo dráhovým účinkom sily nazývame výkon. A= r1òr2 f.dr=
= f .r1òr2 dr = f.s . Pod elementárnou prácou rozumieme výkon: dA= f.dr, pričom f || dr, t.j. skalárny súčin sily f a elementárneho posunutia HB dr a teda ja pôsobiska sily. Práca je skalárnou veličinou a v SI ako j J – joule (1J = 1 Nm=
=1 kg2ms-2), t.j. sila pôsobiaca na istej dráhe vykoná prácu.
17. Čím sa vyznačujú konzervatívne sily? Vyjadrite zákon zachovania mechanickej energie v poli konzervatívnych síl.
Pre teleso nachádzajúce sa v silovom poli, ktoré je charakterizované silou f(r) dostaneme zákon zachovania mechanickej energie Wk (súčet Wk+Wp predstavuje mechanickú energiu danú ako konštantu): Wk1+Wp1 = Wk2+Wp2= konštanta, kdde sme okrem definície Wp využili tiež vetu o WkDWp = Wp2 - Wp1-  r1òr2 f.dr= - (Wk2 – Wk1) = - DWk.



18. Ako je definovaná zmena potenciálnej energie v konzervatívnom silovom poli F. Pre elementárnu prácu, ktorú vykoná pri elementárnom posunutí vonkajšia sila f ´ platí: dA´= f ´ .dr= - f.dr.  
Zmenu potenciálnej energie telesa v danom silovom poli definujeme nasledovne: DWp = 1ò 2 dA´=  A´= -  r1òr2 f.dr.
DWp = Wp2 - Wp1 = 1ò 2 dA´=  A´= -  r1òr2 f.dr je to reverzibilný proces. Pre elementárnu zmenu Wp platí: dWp= - f.dr=
=JWp/ Jx . dx + JWp/ Jy . dy + JWp/ Jz . dz = Wp . dr=   grad Wp . dr potom f= - grad Wp.
19. Vyjadrite zákon zachovania mechanickej energie a napíšte za akého predpokladu platí. Pre teleso nachádzajúce sa v silovom poli, ktoré je charakterizované silou f(r) dostaneme zákon zachovania mechanickej energie Wk (súčet Wk+Wp predstavuje mechanickú energiu danú ako konštantu): Wk1+Wp1 = Wk2+Wp2= konštanta, kdde sme okrem definície Wp využili tiež vetu o Wk:
 DWp = Wp2 - Wp1-  r1òr2 f.dr= - (Wk2 – Wk1) = - DWk.
20. Odvoďte súvis medzi kinetickou energiou a prácou. A= r1òr2 f.drr1òr2 m. dv/dt .dr= m. r1òr2 v.dv= m.r1òr2 v.dv =
=1/2 m.v12 –1/2 mv22 = Wk1 – Wk2 = DWk. , pričom  DWk = 1/2 mv22
Veličinu W nazývame kinetická energia a charakterizuje pohybový stav telesa. Rovnica A= DWk predstavuje matematicky vetu o kinetickej energii. Nech sa teleso nachádza v silovom poli pričom toto pole pôsobí na tleleso v jednotlivých miestach silou f(r), pričom predpokladáme že táto sila je len funkciou polohy a nech: f= -f ´ , kde f je pole pôsobenia, a f ´je vonkajšia sila. 
21. Čomu sa rovná výslednica vnútorných síl a vnútorných momentov síl v sústave HB.
Súčasné pôsobenie viacerých síl je rovnocenné pôsobenie jednej sily tzv. výslednice síl, ktorá je = vektorovému súčtu jednotlivých síl: a = S as = S fs /m = (S fs )/m ... f= S fs = m. a

22. Vyjadrite prvú vetu impulzovú a zákon zachovania, ktorý z nej vyplýva pre izolovanú sústavu. 1. impulzová veta - súčet všetkých vonkajších síl F pôsobiacich na systém HB = časovej derivácii celkovej hybnosti systému F=∑ mi.ai =
= ∑ mi.(dvi /dt) =∑ (dmi.vi)/dt=∑dpi /dt = (d/dt) ∑ pi = dH/dt,  kde H=∑ pi
Poznámka: 1) f = dp/dt  ,  2) 1. impulzová veta umožňuje sformulovať ďalší zákon zachovania ak F=0: dH/dt = 0, kde H je konštanta. Tento zákon je zákonom zachovania hyvnosti.
23. Čo hovorí veta o pohybe ťažiska. Pod ťažiskom 2 HB rozumieme taký bod T na ich spojnici, ktorý delí túto spojnicu v nepriamom pomere hmotnosti týchto HB. AT= m2/(m2+m1)  .AB
Veta o pohybe ťažiska: rovnicu F=∑ mi.ai = ∑ mi.(dri /dt2) = (d2/dt2) ∑ mi ri . Pomocou vyjadrenia polohového vektora ťažiska môžeme poslednú sumu vyjadriť nasledovne: ∑ mi ri=  rT∑ mi = rT . M , kde M je celková hmotnosť sústavy. Po dosadení :
F= (d2/dt2) rT . M= M. (d 2 rT /dt2) = M. aT, kde aT je zrýchlenie ťažiska sústavy. Ťažisko sústavy HB sa pohybuje tak, ako keby celá hmotnosť bola sústredená v ťažisku a všetké sily pôsobili v ťažisku.
24. Čo hovorí zákon zachovania hybnosti pre sústavu HB a z čoho vyplýva. Nech máme 2 integrujúce dve interagujúce častice rôznych hmotností 1a 2. Sily pôsobiace medzi nimi sú rovnaké, ale opačne orientované. Podľa 2. Newtonovho zákona sa sila rovná rýchlosti zmeny hybnosti s časom, a preto rýchlosť zmeny hybnosti p1 častiece 1 sa rovná záporne vzatej rýchlosti zmeny hybnosti p1 častice 2:   dp1/dt = - dp2 /dt. Ak je rýchlosť zmeny rovnaká a opačná, potom celková zmena hybnosti častice 1 je rovnaká a opačná ako celková zmena hybnosti častice 2. To znamená, že pri sčítaní hybnosti častíc 1 a 2 bude rýchlosť zmeny tohto súčtu podmienená vzájomnými silami medzi časticami (tzv. vnútornými silami), nulová:  d(p1 + p2)/dt = 0. Ide však len o prítomnosť vnútorných síl. Ak je rýchlosť zmeny tohto súčtu vždy nulová, znamená to, že veličina (p1 + p2) = (m1 v1 + m2 v2 ) – celková hybnosť dvoch častíc sa nemení. Toto konštantovanie je vyjadrením zákona zachovania hybnosti.Ak medzi dvoma časticami pôsobí akkokoľvek komplikovaná sila a odmeriame, alebo vypočítame m1 v1 + m2 v2 pred pôsobením a po pôsobení sily, musíme dostať rovnaký výsledok, t. j. celková hybnosť je konštantná.
25. Napíšte 2. vetu impulzovú a zákon zachovania, ktorý z nej vyplýva pre izolovanú sústavu. 2. impulzová veta - súčet momentov vonkajších síl pôsobiacich na systém HB = časovej derivácii celkového momentu hybnosti, pričom tieto momenty sa vzťahujú na ten istý bod:  D=∑(dGi /dt) = (d/dt).∑Gi = dG/dt . Poznámka: ak D= 0 potom dG/dt =0, kde G je konštanta potomide o zákon zachovania momentu hybnosti.

1. Rýchlosť: vp= dr/dt, v= lim[Dtà0] Dr/Dt= dr/dt= (Dr)’/(Dt)’, Vektor rýchlosti – smer dotyčnice trajektórie v danom bode trajektórie, Okamžitá rýchlosť – prvá derivácia polohového vektora podľa času, vx= dx/dt, vy=…, vz=…, |v|= Ö(vx2 +vy2 +vz2), Zrýchlenie: ap= dv/dt= d2r/dt2, a= lim[Dtà0] Dv/Dt= dv/dt= (Dv)’/(Dt)’, Zrýchlenie – prvá derivácia rýchlosti alebo druhá derivácia polohového vektora podľa času, ax= dv/dt, ay=…, az=…, |a|= Ö(ax2 +ay2 +az2), Klasifikácia pohybov: 1. podľa veľkosti rýchlosti: a) rovnomerný, b) nerovnomerný, 2. podľa tvaru dráhy: a) priamočiary, b) krivočiary, Priamočiary pohyb: - pohyb prebieha pozdĺž priamky, môže sa meniť veľkosť vektora rýchlosti, ale nemení sa smer rýchlosti, - pohyb pozdĺž osi x: v= dx/dt, a= d2x/dt2, x=òvdt, v=òadt, Rovnomerný priamočiary: veľkosť rýchlosti je konštantná: v= konšt., a=0, x= òvdt= vòdt= vt+c, t=0 … x0= v0+cà c=x0, x= vt+x0, Rovnomerne zrýchlený priamočiary: a= konšt., v= òadt= aòdt= at+c, t=0 … v0= a0+cà c=v0, v=at+v0; x= òvdt= ò(at+v0)dt= ½at2+v0t+c, t=0 … x=x0=c, x= …+x0 Krivočiary pohyb: prebieha pozdĺž priestorovej krivky, Polomer krivosti: Dt= t2-t1, Dt/Ds= R, krivosť – k= 1/R= lim[Dsà0] |Dt|/Ds= |dt|/ds, priamočiary: k=0, R=¥, Uhlová rýchlosť, zrýchlenie: - Perióda T: čas, ktorý potrebuje bod na jeden obeh pri danej uhlovej rýchlosti w. wT=2pà T= 2p/w, f= 1/T= w/2p, w= 2pf, w= dj/dt, e= dw/dt= d2j/dt2, j= òwdt, w= òedt, Rovnomerný po kružnici: v= konšt.= wrà w= konšt., j= òwdt= wòdt= wt+c, t=0 … j0= w0+cà c= j0, j= wt+j0, Rovnomerne zrýchlený po kružnici: at= konšt.= dv/dt= d(wr)/dt= rdw/dtà dw/dt= konšt., w= òedt= eòdt= et+c, t=0 … w0= et+cà c= w0, w= et+w0, j= ò(et+w0)dt= ½et2+w0t+c, c=j0, Pohyb po kružnici pomocou vektora: v=v.t, t= w´r/|w´r|, v=w´r, a= dv/dt= d(w´r)/dt= dw/dt´r+w´dr/dt= e´r+w´v= e´r+w´(w´r)= at+an=a, at=e´r, an=w´v,        2. Newtonove pohybové zákony: 1. NZàprincíp zotrvačnosti – teleso je v pokoji alebo koná priamočiary rovnomerný pohyb, ak naň nepôsobí žiadna sila, 2. NZàzákon silyF=ma [N], m=konšt., 1N = sila, ktorú udelí telesu m=1 kg zrýchlenie a=1 m.s-2,(sila je priamoumerna sučinu hmotnosti m telesa a zrychlenia a ktoré tato sila vyvola) 3. NZàprincíp akcie a reakcie – sily, ktorými navzájom pôsobia dve telesá sú rovnako veľké, opačného smeru, sily akcie a reakcie ležia na jednej priamke:  f21ß·–––·àf12, f12=-f21, 3. NZ dôkaz: D21=r1´f­21, D12=r2´f12, D21+D12= r1´f21+r2´f12= r1´f21+r2´(-f21)= (r1-r2)´f21=0, D21=-D12, Moment sily vzhľadom na bod: D=r´f, Impulz: I=0òtFdt [Ns], Hybno: p=mv, t=0 … v=v0p= mv0= p0, t=tv=v1p= mv1= p1, I= 0òtFdt= 0òtma.dt= 0òtm.dv/dt*dt= 0òtm.dv= m.0òtdv= m(v1-v0)= mv1-mv0= p1-p0= Dp – impulz sily, 2.NZ podľa hybnosti: F= dp/dt= dmv/dt= dm/dt*v+mdv/dt= mdv/dt= ma, Moment hybnosti: G=r´p, Práca – dráhový účinok sily A=*1ò*2fdr [J] {*1,2=r1,2}, elementárna práca dA=fdr, 1J=Nm, A= r1òr2fdr= v1òv2mdv/dt*dr= v1òv2mvdv= v1òv2mvdv= m[½v2]v1v2= ½mv22- ½mv12= EK2- EK1= DEK, Kinetická energia: EK= ½mv2, Potenciálna energia: dEP=-fdr, Zákon zachovania mechanickej energie: DEP= EP2-EP1= -r1òr2fdr= -(EK2-EK1), EP2+EK2= EP1+EK1, EP+EK= konšt., Výkon: P=A/t, Okamžitý výkon: P=dA/dt =fdr/dt= f.v [W] 3. Dynamika systému hmotných bodov: Ťažisko: pod ťažiskom dvoch bodov rozumieme taký bod T na ich spojnici. ktorý delí túto spojnicu v nepriamom pomere hmotnosti daných bodov. Ťažisko sústavy hmotných bodov: rT= Smiri/Smi, Ťažisko telesa: rT=òrdm/òdm,  1. Impulzová veta – veta o poh. fáz., fi=vonkajšia sila, ktorá pôsobí na i-ty bod. fji=sila, ktorou pôsobí j-ty na i-ty bod, iS(fi+ jSfji)= iSfi+ iSjSfji= iSfi= F súčet vonkajších síl pôsobiacich na sústavu fi+ jSfji=miai, iSmiai= F, dôkaz: F= iSmiai= iSmidvi/dt= iS(dmivi)/dt= iSdpi/dt= d(iSpi)/dt= dH/dt= F, H= iSpi, – súčet všetkých vonkajších síl pôsobiacich na systém hmotných bodov sa rovná časovej derivácii celkovej hybnosti systému, F=0…dH/dt=0à H=konšt., dôkaz: F= iSmid2ri/dt2= iSd2(miri)/dt2= d2(iSmiri)/dt2= d2(MrT)/dt2= Md2(rT)/dt2= MaT= Fveta o pohybe ťažiska – ťažisko systému sa pohybuje tak, ako keby celá hmotnosť bola sústredená v ťažisku, všetky sily pôsobili v ťažisku, 2. Impulzová veta ri´(fi+iåfji)=ri´miai pre kazdy bod scitanim iåri´miai s ohladom Dij=-Dij ijåri ´ fij=ijåDij=0 iSri ´ fi = iåDi=D= iåri ´ miai Di-moment vonkajsej sili D- sucet setkych momentov vonk. sil Gi=ri ´mivi dGi/dt=d(ri ´mivi)/dt= dri/dt ´ mivi+ ri ´ d(mivi)/dt= vi ´mivi + ri ´midi= ri ´miai fi+ jSfji= miai, ri´(fi+ jSfji)= ri´miai, iS[ri´(fi+ jSfji)]= iSri´miai, i¹j, D= iådGi/dt=dG/dt, – súčet momentov vonkajších síl pôsobacich na systém hmotných bodov sa rovná časovej derivácie celkového momentu hybnosti, D=0…dG/dt=0à G=konšt.,Dynamika dokonale tuhého telesa: Dokonale tuhé teleso je teleso, ktoré je definovateľnéà dve sily s rovnakými absolútnymi hodnotami a opačnými smermi pôsobiace v jednom bode sa navzájom rušiaà v dôsledku tuhosti sa rušia také sily, aj keď pôsobia v rôznych bodoch telesa, pokiaľ spojnica ich pôsobísk je so smerom sily rovnobežnáà sily pôsobiace na tuhé teleso môžeme posunúť do ľubovoľného bodu ležiaceho na priamke sily, Skladanie síl: N/A,Moment dvojice sil D=r1 ´f1+r2 ´f2=-r1 ´f2+(r1 ´r)´f2= -r1 ´f2+r1 ´f2+ r ´f2=r ´ f1  Pohybové rovnice tuhého telesa: F=MaT, iSFi= iSmiai; iSHi= iSmivi; G= iSri´mivi= mò(r´v)dm; rT=mòrdm//M; ! F=MaT, F=dH/dt, D=dG/dt, – podmienka rovnováhy u tuhého telesa je, aby vektorový súčet všetkých jeho vonkajších síl a ich moment vzhľadom na ľubovoľný bod bol rovný nule. EK telesa rotujúceho okolo pevnej osi: EK= iSEKi= iS½mivi2= iS½miri2wi2= ½wi2.iSmiri2 = ½w2IZ; IZ= iSmiri2= mòr2dm – moment zotrvačnosti telesa, EK= ½Mv2+ ½IZw2, Steinerova veta: moment zotrvačnosti telesa vzhľadom na ľubovoľnú os z neprechádzajúcu ťažiskom sa dá určiť ako moment zotrvačnosti neprechádzajúci ťažiskom a ktorý je s danou osou rovnobežný a zväčší sa o hodnotu ma2; a= vzdialenosť osí, IZ= I0+ma2 – Steinerova veta, IZ= òr2dm= ò(r0+a)2dm= mòr02dm{=I0}+ mò2r0adm{=Æ}+ mòa2dm= I0+ma2 – pre elementárnu oblasť, Pohybová rovnica telesa rotujúceho okolo osi: D= dG/dt, r= r0+a, v= w´a, G=wIZ – moment hybnosti, G= mò(r´v)dm= mò(r0+a)´vdm= mò(r0+a)´(w´a)dm= mò[r0´w´a+a´w´a]dm= mò[w(r0a){=Æ}- a(r0w){=Æ}+ w(aa)- a(aw){=Æ}]dm= wmòa2dm; G= wmòa2dm= wIZ; D= dG/dt= IZdw/dt= IZe; D= ò-a(r0w)dm+ òwa2dm{/.i}, Gi= GZiwòa2dm= w.IZ= GZ; DZ= dGZ/dt= IZ.eà DZ= IZe – pohybová rovnica telesa otáčajúceho sa okolo osi, DZdj= IZedj= IZdw/dt*dj= IZwdw= d(½IZw2)= dEK= dAà A= j1òj2DZdj, Fyzikálne kyvadlo: DZ= -amg.sinj= IZe= IZd2j/dt2= -mga/IZ*sinj, d2j/dt2= -w2jà j= j0{=amplituda pohybu}sin(wt+j), TK= 2p/w= 2pÖ(I/mga), I=I0+ma2à TK= 2pÖ(I0+ma2//mga); Ideálny plyn: Plyny – predstavujú látky vyznačujúce sa veľku stlačiteľnosťou, vypĺňajú celý priestor nádoby a netvoria jej povrch, Stav plynu – charakterizovaný stavovými veličinami: 1. hmotnosť (m), 2. objem (V), 3. tlak (p), 4. teplota (T), Tlak – definovaný ako podiel sily f pôsobiacej kolmo na plochu S: p= f/S [Pa]=[Nm-2], Teplota – je stavová veličina, ktorá charakterizuje intenzitu tepelného pohybu, Stupnice: 1. Celziová – definovaná tak, že nulový bod stupnice odpovedá bodu pri ktorom je v rovnováhe ľad a voda pri 760 torov a 100°C predstavuje teplotu vody a jej nasýtených pár pri tlaku 760 torov, 2. Termodynamická: T=T0+t, T0= 273,16 K, Empirické zákony: 1. Izotermický dej: T= konšt., pV= konšt., 2. Izobarický dej: p= konšt., V/T= konšt., V=V0(1+ÀPt), 3. Izochorický dej: v= konšt., p/tT= konšt., p= p0(1+ÀV{=koeficient teplotnej rozpínavosti}t) …