1. Definujte okamžitú rýchlosť hmotného bodu. Mechanickým pohybom rozumieme proces, pri ktorom dochádza k zmene polohy jedného  telesa vzhľadom na iné teleso. Časť fyziky, v rýmci ktore sa mechanický pohyv študuje sa nazýva mechanika. Hmotný bod je teleso, ktorého rozmery môžeme zanedbať v porovnaní s ostatnými rozmermi, ktoré pri sledovanom pohybe vystupujú. . Pri kinematike HB musíme poznať polohový bod. Na určenie polohy používame tzv. polohový vektor, ktorého začiatok sa nachádza v meiste vzťažného bodu a koncový bod je v mieste okamžitje polohy bodu. Sled polôh, ktoré HB v priestore zaujíma, nazývame dráhou (trajektóriou) pohybu.

Ak označíme Dr^→ = r´ ^→- r^→, Dt = t´-t, potom stredná (priemerná) rýchlosť má tvar v_s^→= Dr^→/ Dt a okamžitá rýchlosť (jej vektor)

v^→ = lim Dr^→/Dt=dr^→/dt (Dt->0). Vektor okamžitej rýchlosti je rovný prve derivácii polohového vektora podľa času. Posledný vzťah môžeme postupne rozpísať ako: v^→= v_s. i^→ + v_s. j^→ + v_s .k^→=dx/dt .i^→ + dy/dt . j^→ + dz/dt . k^→=dr^→/dt= d/dt.(x.i^→ +y.j^→ +z.k^→) a teda pre príslušné súradnice vektora rýchlosti platí: v_x =dx/dt; v_y =dy/dt; v_z =dz/dt. Veľkosť rýchlosti vypočítame zo vzťahu:

|v^→|=√ v²_x +v²_y +v²_z. Strednú rýchlosť možno definovať aj na základe skutočne prejdenej dráhy, t.j. v_s= Ds/ Dt. Takto zavedená stredná rýchlosť vedie k rovankej hodnote okamžitej rýchlosti: v=|v^→|=|dr^→/dt|=|dr^→|/dt=ds/dt;  v = lim v_s = lim Ds/Dt=ds/dt (t->0). Vektor okamžitje rýchlosti má vždy smer dotyčnice trajektórií v danom bode.

2. Definujte okamžité zrýchlenie hmotného bodu. Vo všeobenosti môže byť aj vektor rýchlosti funkciou času na kvantifikovanie rýchlosti tejto zmeny zavádzame veličinu nazváanú zrýchlenie. Ak označíme Dv^→= v´ ^→- v^→, Dt = t´-t, potom priemerné zrýchlenie má tvar a_s^→= Dv^→/Dt a okamžité zrýchlenie a^→ = lim Dv^→/Dt=dv^→/dt (Dt->0), v^→=dr^→/dt, a^→=dv^→/dt=d/dt(dr^→/dt)=d²r^→/dt². Pre vektor zrýchlenia postupne dostávame a^→=dv^→/dt=d²r^→/dt²=a_x.i^→ + a_y .j^→+ a_z.k^→= dv_x /dt .i^→ + d v_y /dt .jv + dv_z /dt .k^→=

=d²x/dt² .i^→ + d²y/dt² .j^→ + d²z/dt².k^→; |a^→|=√ a²_x +a²_y +a²_z.

3. Vyjadrite časovú závislosť rýchlosti HB, ktorý sa pohybuje priamočiarym pohybom s konštantným spomalením, ak v časovom okamihu t=0 mala jeho rýchlosť hodnotu v₀. a) priamočiary pohyb HB: trajektóriou (dráhou) je priamka označená ako s: v=ds/dt, potom s=ò v dt. Zrýchlenie je derivácia podľa času: a=dv/dt= d²s/dt², potom v=ò a dt.

1. rovnomerný priamočiary pohyb – rýchlosť je konštantná: v-konštanta, potom a=0: s=ò v dt = v ò  dt= vt+s₀, kde t=0, potom s= s₀. Ak t=0, poto  s=v.0+c ... t=0 a s= s₀, s₀= v.0+c, potom c= s_0.

4. Odvoďte časovú závislosť rýchlosti a dráhy pre priamočiary pohyb, ak a=konštanta. 2. rovnomerne zrýchlený priamočiary pohyb – zrýchlenie je stále konštantné, potom zmena rýchlosti na jednotu času je stále rovnaká: a = konštanta: v=ò a dt = a ò  dt= at + v₀. (t=0 potom v= v₀). Ak t=0 ... v= v₀ , v=at+c, potom v₀ =a.0+c ... c= v₀ ;  s=ò v dt = ò  (at + v₀) dt= 1/2 . at² + v₀t + s₀.

5. Odvoďte časovú závislosť rýchlosti pre priamočiary pohyv, ak a=k.t, kde k je konštanta. I. voľný pád – rovnomerný zrýchlený pohyb o hodnote g. a=g, v=g.t, s=1/2 g.t², kde h je výška nad zemským povrchom, h_max=h+s, h=h_max – s= h_max –1/2 .g t². II. zvyslý vrh nadol: a=g, v= v₀+gt, s= v₀t+1/2 g.t². III. zvislý vrh nahor: a=g, v= v₀ - gt, s= v₀t -1/2 g.t². 3. obecný priamočiary pohyb: a=a(t), v=ò  a(t) dt + v₀ (ak t=0, potom v=v₀), s= ò ò (a(t) dt + v₀) dt + s₀

 7. Napíšte súvis medzi obvodovou a uhlovou rýchlosťou. b) krivočiary pohyb HB: trajektóriou je priestorová krivka. Krivosť K v danom bode je definovaná ako K=1/R= lim |Dt^→|/Ds=|dt^→|/ds (Ds->0), kde R je polomer krivosti krivky v danom bode, ds je elementárna dĺžka dráhy, t^→ je jednotkový vektor majúci smer dotyčnice ku dráhe v danom bode krivky. Čím je krivosť väčšia, tým je polomer krivosti menší.

Vektor uhla je kolmá na rovinu, v ktorej sa tento uhol vytvára. Jeho veľkosť (absolútna hodnota=dĺžka) sa rovná veľkosti tohto uhla a smeruje na tú stranu, z ktore sa vytváranie uhla javí proti pohybu hodinových ručičiek. Uhlová rýchlosť popisuje časovú zmenu uhla, ktorý vytvára polohový vektor pohybujúceho sa bodu s nejakým pevne zvoleným smerom. w^→ = lim Dj^→/ Dt = dj^→ /dt (Dt->0).

Pomocou takto zavedenej uhlovej rýchlosti môžme tiež definovať uhlové zrýchlenie: e^→ = lim Dw^→/ Dt = dw^→ /dt = d²j^→ /dt² (Dt->0). V prípade roninného pohybu ležia vektory v tej istej priamke kolmej na rovinu pohybu a vystačíme si so skalárnym popisom, t.j.: w= dj /dt, e= du/dt= d²j /dt². Rozklad celkového zrýchlenia a na tangenciálnu a normálovú zložku: a^→=a_t^→ + a_n^→ , a= |a^→|=

=√ a²_t + a²_n ; v^→=|v^→|.v^→/|v^→|= |v^→|.t^→, | t^→ |=1, a^→=dv^→/dt=d/dt(|v^→|.t^→)=d|v^→|/dt .t ^→+ |v^→|.dt^→/dt, teda a_t^→ = d|v^→|/dt .t ^→  a 

a_n^→ = |v^→|.dt^→/dt.

Pomotou definície polomeru krivosti môžeme upraviť vzťah pre normálové zrýchlenie: |dt^→|=ds/R, ds/dt=v=|v^→|,

a_n^→ = |v^→|.dt^→/dt= v.dt^→/dt .n^→=v. ds/Rdt . n^→ = v²/R .n^→

Vzťah medzi veľkosťami obvodove a uhlovej rýchlosti : v=ds/dt=r.dj/ dt=r.w , pre tangenciálne zrýchlenie platí:

a_t^→ = dv/dt= r. dw/ dt=r. e  a pre normálové zrýchlenie platí: a_n^→ = v²/R =r.w²

8. Pri akom pohybe HB po kružnici je frekvencia konštantná. Pohyb po kružnici – rovinný pohyv, trajektóriou je kružnica. Sprievodič alebo polohový vektor bodu vzhľadom na stred kružnice na konštantnú veľkosť, musí sa určiť jeho smer v rovine. Polomer krivosti sa rovná polomeru kružnice dj= |dj^→|= r. dj, |dt^→| =1.dj, ds= r. |dt^→|  =1/r = |dt^→|/ds.

Periodu alebo dobu obiehania T berieme ako čas, ktorý by bol potrebný na jeden obeh pri danej uhlovej rýchlosti t. j.:  w.T=2p, potom T = 2p/w  a   f= 1/T= w/2p, potom w = 2p.f.

9. Pri akom pohybe bodu je jeho tangenciálne zrýchlenie nulové a normálové konštantné. w=dj/dt, j = ò w dt, e=dw/dt, w= ò e dt

Pre rovnomerný pohyb po kružnici platí: w =konštanta, potom e=0, potom  j = ò  w dt= wt + j₀ (t=0, potom j = j₀).

Pre rovnomerne zrchlený pohyb po kružnici platí: : e =konštanta, potom w = ò e dt= et + w₀ (t=0, potom w = w₀). Potom :

j = ò  w dt= ò (et + w₀)dt =1/2 et² + a₀t +j₀.

10. Nakreslite časovú závislosť uhlovej rýchlosti HB, ktorý sa začal pohybovať z pokoja rovnomerne zrýchleným pohybom po kružnici.Vektorový popis:

                                               platí v^→=w^→ _x r^→, použitím tohto vzťahu dostávame pre zrýchlenie a^→=dv^→/dt=d(w^→ _x r^→)/dt =

=dw^→/dt _x r^→ + dr^→/dt _x w^→ = e^→ _x r ^→+ w^→ _x v^→ = e^→ _x r^→ + w^→ _x (w^→ _x r^→). Pre tangenciálnu a normálovú

zložku zrýchlenia: a_t^→ = e^→ _x r^→ , a_n^→ = w^→ _x v^→ = w^→ _x (w^→ _x r^→).

11. Sformulujte 1. Newtonov pohybový zákon, aj v matematickom tvare. Dynamika HB hľadá odpoveď na otázku čo zapríčiňuje pohyb a aký bude pohyb ak je známa príčina. Zmeny v pohybe nastávajú ako dôsledok vzájomnej interakcie.

1. Newtonov pohybový zákon (1678): Teleso je v pokoji alebo v rovnomernom priamočiarom pohybe, kým naň nepôsobí nejaká sila (platí iba v niektorých inerciálnych (zotrvačných) sústavách). Zotrvačná hmotnosť bráni zmene pohybového stavu .

12. Sformulujte a matematicky zapíšte 2. Newtonov pohybový zákon.

2. Newtonov pohybový zákon (princíp sily): Sila F je priamoúmerná  súčinu hmotnosti telesa m a zrýchlenia a, ktoré táto sila vyvoláva. F^→ = m.a^→. V SI je konštanta úmernosti =1. V SI je jednotkou sily taká sila, ktorá telesu o hmotnosti 1kg udeľuje zrýchlenie 1ms^–2 = 1 Newton (N):  1N = 1 kgms^–2.

13. Riešením pohybovej rovnice vyjadrite x-ovú a y-ovú zložku rýchlosti HB, ktorý bol vrhnutý šikmo pod uhlom a s počiatočnou rýchlosťou v₀.

14. Sformulujte a matematicky zapíšte 3. Newtonov pohybový zákon.

3. Newtonov pohybový zákon (princíp akcie a reakcie): f₁₂^→ je sila, ktorou pôsobí hmotný bod 1 na hmotný bod 2 a sila f₂₁^→ je sila, ktorou pôsobí hmotný bod 2 na hmotný bod 1, pričom platí:

Ak hmotný bod m₁ pôsobí na bod m₂ silou f₁₂^→_, tak HB m₂ pôsobí na bod m₁ silou f₂₁^→ = rovnakou veľkosťou, ale opačne orientovanou. Sily akcie a reakcie ležia na spoločnej priamke. f₂₁^→ = - f₁₂^→ . Tento vzťah nevyjadruje úplne princíp akcie a reakcie pretože vyjadruje fakt, že sily akcie a reakcie ležia na spoločnej priamke. Túto skutočnosť môžeme vyjadriť po zavedení veličiny moment sily vzhľadom na bod: D^→= r^→ _x  f^→ , kde r^→ je polohový vekotr pôsobiska sily f vzhľadom na zvolený vzťahový bod.

Vektorový súčin momentov síl f₁₂^→ a f₂₁^→ :  D₁₂^→ + D₂₁^→ = r₂^→ _x  f₁₂^→ _x  r₁^→ _x  f₂₁^→ = r₁^→ _x  f₁₂^→ + r₁₂^→ _x  f₁₂^→ +  r₁^→ _x  f₂₁^→ =

= r₁^→ _x  (f₁₂^→ + f₂₁^→) + r₁₂^→ _x  f₁₂^→ = r₁^→ _x  (f₁₂^→ - f₁₂^→) + r₁₂^→ _x  f₁₂^→ ₌ 0;   D₁₂^→ +  D₂₁^→ = r₁₂^→ _x  f₁₂^→ = 0. zabezpečí nám, že sily akcie  a reakcie budú ležať na jednej priamke a teda  D₁₂^→ = -  D₂₁^→ , čo je matematické vyjadrenei skutočnosti, že sily akcie a reakcie pôsobbia v jednej priamke.

Súčasné pôsobenie viacerých síl je rovnocenné pôsobenie jednej sily tzv. výslednice síl, ktorá je = vektorovému súčtu jednotlivých síl: a = S a_s = S f_s /m ₌ (S f_s^→ )/m ... f^→= S f_s^→ = m. a^→

15. Definujte impulz, hybnosť a vyjadrite súvis medzi nimi. Časový účinok sily hodnotíme veličinou, ktorú nazývame impulzom sily a definujeme u vzťahom I^→=₀ò^τ f^→dt, kde t je časový interval, v ktorom umpulz meriame. Z tejto definície vyplýva, že impulz sily je vektor a jeho jednotkou v SI je Ns = kgms^–1. Hybnosťou HB nazývame veličinu definovanú vzťahom p^→=m.v^→. Nech pre 2 časové okamihy pre t=0  v^→= v₀^→ a pre t=t  v^→= v₁^→ pre impuly postupne dostaneme: I^→=₀ò^τ f^→dt =₀ò^τ m.a^→dt = ₀ò^τ dv^→/dt .dt =

=_v0ò^v1 m.dv^→= m(v₁^→ - v₀^→) = p₁^→ - p₀^→ = Dp^→, pričom p₁^→ = m.v₁^→ a  p₀^→ = m.v₀^→ ,   I^→= Dp^→. Impulz = zmene hybnosti počas pôsobenia sily. Pomocou hybnosti môžeme vyjadriť 2NPZ vo všeobecnosti: f^→=dp^→/dt, pričom dI^→= f^→dt= dp^→.Ak tento vzťah rozpíšeme dostávme: f ^→=m . dv^→/dt  + dm^→/dt . v^→= m. a^→ + dm/dt . v^→

Moment hybnosti G^→ definuje vzťah G^→= r^→ _x  p^→, kde r^→ je polohový vekotr HB vzhľadom na bod voči ktorému príslušný moment určujeme.

16. Za akých podmienok platí pre prácu vzťah A=F.s. Prácou alebo dráhovým účinkom sily nazývame výkon. A= _r1ò^r2 f^→.dr^→=

= f ._r1ò^r2 dr = f.s . Pod elementárnou prácou rozumieme výkon: dA= f^→.dr^→, pričom f^→ || dr^→, t.j. skalárny súčin sily f a elementárneho posunutia HB dr^→ a teda ja pôsobiska sily. Práca je skalárnou veličinou a v SI ako j J – joule (1J = 1 Nm=

=1 kg²ms^-2), t.j. sila pôsobiaca na istej dráhe vykoná prácu.

17. Čím sa vyznačujú konzervatívne sily? Vyjadrite zákon zachovania mechanickej energie v poli konzervatívnych síl.

Pre teleso nachádzajúce sa v silovom poli, ktoré je charakterizované silou f^→(r^→) dostaneme zákon zachovania mechanickej energie W_k (súčet W_k+W_p predstavuje mechanickú energiu danú ako konštantu): W_k1+W_p1 = W_k2+W_p2= konštanta, kdde sme okrem definície W_p využili tiež vetu o W_k:  DW_p = W_p2 - W_p1 =  -  _r1ò^r2 f^→.dr^→= - (W_k2 – W_k1) = - DW_k.

18. Ako je definovaná zmena potenciálnej energie v konzervatívnom silovom poli F. Pre elementárnu prácu, ktorú vykoná pri elementárnom posunutí vonkajšia sila f ´ ^→ platí: dA´= f ´ ^→.dr^→= - f^→.dr^→.  

Zmenu potenciálnej energie telesa v danom silovom poli definujeme nasledovne: DW_p = ₁ò ² dA´=  A´= -  _r1ò^r2 f^→.dr^→.

DW_p = W_p2 - W_p1 = ₁ò ² dA´=  A´= -  _r1ò^r2 f^→.dr^→ je to reverzibilný proces. Pre elementárnu zmenu W_p platí: dW_p= - f^→.dr^→=

=JW_p/ Jx . dx + JW_p/ Jy . dy + JW_p/ Jz . dz = W_p . dr^→=   grad W_p . dr^→ potom f^→= - grad W_p.

19. Vyjadrite zákon zachovania mechanickej energie a napíšte za akého predpokladu platí. Pre teleso nachádzajúce sa v silovom poli, ktoré je charakterizované silou f^→(r^→) dostaneme zákon zachovania mechanickej energie W_k (súčet W_k+W_p predstavuje mechanickú energiu danú ako konštantu): W_k1+W_p1 = W_k2+W_p2= konštanta, kdde sme okrem definície W_p využili tiež vetu o W_k:

 DW_p = W_p2 - W_p1 =  -  _r1ò^r2 f^→.dr^→= - (W_k2 – W_k1) = - DW_k.

20. Odvoďte súvis medzi kinetickou energiou a prácou. A= _r1ò^r2 f^→.dr^→=  _r1ò^r2 m. dv^→/dt .dr^→ = m. _r1ò^r2 v^→.dv^→= m._r1ò^r2 v.dv =

=1/2 m.v₁² –1/2 mv₂² = W_k1 – W_k2 = DW_k. , pričom  DW_k = 1/2 mv₂²

Veličinu W nazývame kinetická energia a charakterizuje pohybový stav telesa. Rovnica A= DW_k predstavuje matematicky vetu o kinetickej energii. Nech sa teleso nachádza v silovom poli pričom toto pole pôsobí na tleleso v jednotlivých miestach silou f^→(r^→), pričom predpokladáme že táto sila je len funkciou polohy a nech: f^→= -f ´ ^→, kde f je pole pôsobenia, a f ´je vonkajšia sila. 

21. Čomu sa rovná výslednica vnútorných síl a vnútorných momentov síl v sústave HB.

Súčasné pôsobenie viacerých síl je rovnocenné pôsobenie jednej sily tzv. výslednice síl, ktorá je = vektorovému súčtu jednotlivých síl: a = S a_s = S f_s /m ₌ (S f_s^→ )/m ... f^→= S f_s^→ = m. a^→